在平面直角坐标系xOy中，点M（2，2），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴、y轴的另一交点分别为点D、A（如图），连接AM．点P是AB上的动点．（1）∠AOB的

Question

在平面直角坐标系xOy中，点M（√(2)，√(2)），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M． 使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴、y轴的另一交点分别为点D、A（如图），连接AM．点P是

AB

上的动点．
（1）∠AOB的度数为______．
（2）Q是射线OP上的点，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．
①当QE与⊙M相切时，求点E的坐标；
②在①的条件下，在点P运动的整个过程中，求△ODQ面积的最大值及点Q经过的路径长．

Answer 1

（1）如图，过点M作MN⊥OA，交y轴于点N，

∵点M（√(2)，√(2)），
∴MN=ON=√(2)，
∴∠AOB=45°，
故答案为：45°；
（2）①当QE与⊙M相切时，由QC⊥OB，可知点B为切点，如图2，

∵OM=2，
∴OB=4，且∠BOE=45°，
在Rt△BOE中，OB=BE=4，由勾股定理可求得OE=4√(2)，
∴E点坐标为（4√(2)，0）；
②设切线QC交y轴于点R，如图3，

由①可知△OBR为等腰直角三角形，且OB=4，
∴BR=4，
当点P从点B运动到点A时，则Q点从B运动到R，
∴点Q的运动路径为线段BR，
∴点Q经过的路径长为4，
∵△ODQ的边OD不变，
∴当Q点到OD的距离最大时，△ODQ的面积最大，
∴当点Q在R点时，△ODQ面积最大，
此时，在Rt△OBR中，可求得OR=4√(2)，
连接BD，则△OBD为等腰直角三角形，且OB=4，可求得OD=2√(2)，
∴△ODQ面积最大值=(1)/(2)OD•OR=(1)/(2)×2√(2)×4√(2)=8．