已知f（x）=sinx+sin（π2-x）．（1）若α∈[0，π]，且sin2α=13，求f（α）的值；（2）若x∈[0，π]，求f（x）的单调递增区间．

Question

已知f（x）=sinx+sin（(π)/(2)-x）．
（1）若α∈[0，π]，且sin2α=(1)/(3)，求f（α）的值；
（2）若x∈[0，π]，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

（1）∵α∈[0，π]，∴sinα＞0，
∴f（α）=sinα+cosα，…（1分）
又sin2α=(1)/(3)=2sinα•cosα＞0，
∴α∈（0，(π)/(2)），sinα+cosα＞0，…（3分）
由（sinα+cosα）²=1+2sinα•cosα=(4)/(3)，…（5分）
∴sinα+cosα=(2√(3))/(3)，
∴f （α）=(2√(3))/(3)；…（7分）
（2）由（1）知f （x）=√(2)sin（x+(π)/(4)），
当2kπ-(π)/(2)≤x+(π)/(4)≤2kπ+(π)/(2)（k∈Z）时，f（x）是单调递增，…（9分）
∴2kπ-(3π)/(4)≤x≤2kπ+(π)/(4)（k∈Z），又0≤x≤π，…（11分）
∴f（x）的单调递增区间为[0，(π)/(4)]．…（12分）