一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1

Question

一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N^* ）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是(2)/(5)．现从袋中任意摸出2个球．
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是(4)/(7)，那么
①分别求袋中装有的黑球、白球和红球的个数；
②设ξ 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ 的概率分布及数学期望Eξ；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？

Answer 1

（1）①由题意知本题是一个等可能事件的概率，
设袋中黑球的个数为x 个，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，
则P(A)＝(x)/(15)＝(2)/(5) 
∴x=6．       
设袋中白球的个数为y （个），记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，
则P(B)＝1−(C215−y)/(C215)＝(4)/(7) 
∴y²-29y+120=0，∴y=5 或y=24 （舍）．
 即白球个数为5个．
∴红球的个数为15-6-5=4 （个）．
综上，袋中装有的黑球、白球和红球的个数分别为6，5，4．   
②由①知：随机变量ξ 的取值为0，1，2，
分布列是

ξ	0	1	2
P	(11)/(21)	(44)/(105)	(2)/(35)

∴ξ 的数学期望Eξ＝(11)/(21)×0+(44)/(105)×1+(2)/(35)×2＝(56)/(105)．    
（2）设袋中有黑球z 个，则z＝(2)/(5)n(n＝5，10，15，…）
设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，
则P(C)＝1−(C2(3)/(5)n)/(C2n)＝(16)/(25)+(6)/(25)×(1)/(n−1)，
当n=5 时，P（C） 最大，最大值为(7)/(10)．