线性代数为什么齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知量个数时仅有零解

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线性代数
为什么齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知量个数时仅有零解

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答案和解析

首先必须说明的是 n个未知数必须需要最少n个线性无关的方程组才能解算出来

而当齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知量个数时
方程组的系数矩阵总是能化简成

这样的对角阵形式,由于系数矩阵的秩等于未知量个数所以a1到an都不等于0,那方程组只有零解了.
当系数矩阵的秩小于未知量个数时,a1到an中总会有等于0的系数出现,此时,等于0的系数对应的那个变量就变成了自由变量,就是可以取任何值.为了保证解之间的线性无关性,自由变量一般分别取0,1 这样就出现了非零解.

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