3阶矩阵A（abb,bab,bba）,若他的伴随矩阵秩为1,则a,b,应满足

Question

3阶矩阵A（abb,bab,bba）,若他的伴随矩阵秩为1,则a,b,应满足

Answer 1

如果伴随矩阵秩为1,这A的秩为n-1
a b b
b a b
b b a
如果a=0,这矩阵为
0 b b
b 0 b
b b 0
此时b必须不为0,进行初等变换,首先把第二行和第一行交换,然后把第一列消去得到
b 0 b
0 b b
0 b -b
显然当b不为0时,上述矩阵秩为3,不成立

所以a不等于0
用第一行消去第一列得到
a b b
0 a-b^2/a, b-b^2/a
0 b-b^2/a, a-b^2/a
此时要它秩为0,要求右下角矩阵行列式为0,且a-b^2/a和b-b^2/a不全为0
a-b^2/a =0 =>a = b 或者a=-b ---1
b-b^2/a =0 得到ab=b^2,a=b或者b=0 ----2

行列式等于0得到
(a-b^2/a)^2 = (b-b^2/a)^2

(a-b) (a+b-2b^2/a) =0
所以a=b或者a+b-2b^2/a =0
如果a=b这1,2都为0,所以不可能
所以a+b = 2b^2/a
a^2 +ab = 2b^2
显然b=0不成立
所以此题似乎无解