设M,N,P是△ABC边上的点,且BM=1/3BC,CN=1/3CA,AP=1/3AB,若A→B=a,A→C=b,用a,b表示M→N,N→P,P→M

Question

设M,N,P是△ABC边上的点,且BM=1/3BC,CN=1/3CA,AP=1/3AB,若A→B=a,A→C=b,用a,b表示M→N,N→P,P→M

Answer 1

若A→B=a,A→C=b,有
AP=1/3*AB=a/3,
CN=1/3*CA=-b/3.
而,AB+BC=AC,
BC=AC-AB=b-a.
BM=1/3*BC=(b-a)/3,
而,BC=BM+MC,
MC=BC-BM=(b-a)-(b-a)/3=2(b-a)/3.
而,MN=MC+CN=2(b-a)/3-b/3=(b-2a)/3.
而,AC=AN+NC,
AN=AC-NC=b-b/3=2b/3,
而,AN=AP+PN,
PN=AN-AP=2b/3-a/3=(2b-a)/3,
则NP=-(2b-a)/3=(a-2b)/3.
而,AB=AP+PB,
PB=AB-AP=a-a/3=2a/3.
而,PM=PB+BM=2a/3+(b-a)/3=(a+b)/3.