已知点A（0，-2），椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最

Question

已知点A（0，-2），椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(2)，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为(2√(3))/(3)，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

Answer 1

（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知(2)/(c)＝(2√(3))/(3)，得c＝√(3)又(c)/(a)＝(√(3))/(2)，
所以a=2，b²=a²-c²=1，故E的方程(x2)/(4)+y2＝1．…．（6分）
（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx-2，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
将y=kx-2代入(x2)/(4)+y2＝1，得（1+4k²）x²-16kx+12=0，
当△=16（4k²-3）＞0，即k2＞(3)/(4)时，x1，2＝(8k±2√(4k2−3))/(1+4k2)
从而|PQ|＝√(k2+1)|x1−x2|＝(4√(k2+1)•√(4k2−3))/(1+4k2)
又点O到直线PQ的距离d＝(2)/(√(k2+1))，所以△OPQ的面积S△OPQ＝(1)/(2)d|PQ|=(4√(4K2−3))/(1+4K2)，
设√(4k2−3)＝t，则t＞0，S△OPQ＝(4t)/(t2+4)＝(4)/(t+(4)/(t))≤1，
当且仅当t=2，k=±(√(7))/(2)等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=(√(7))/(2)x-2或y=-(√(7))/(2)x-2．…（12分）