已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是BC的中点，过D作⊙O的切线交AC于E，DE=4，CE=2．（1）如图1，求证：①DE⊥AC；②求⊙O的半径；（2）如图2，若I是△ABD的内心，DI的延长线交⊙O于N，求IN

Question

已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是BC的中点，过D作⊙O的切线交AC于E，DE=4，CE=2． 
（1）如图1，求证：①DE⊥AC；②求⊙O的半径；
（2）如图2，若I是△ABD的内心，DI的延长线交⊙O于N，求IN的长度．

Answer 1

（1）①证明：如图1，连接AD．
∵点D为

BC

的中点，
∴∠1=∠2．
∵∠2=(1)/(2)∠3，
∴∠1+∠2=∠3，即∠CAB=∠3，
∴AE∥OD．
又∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
②∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
由①知，DE⊥AC，
∴∠E=90°．
∵DE=4，CE=2，
∴根据勾股定理求得CD=√(CE2+ED2)=2√(5)．
∵点D为

BC

的中点，
∴BD=CD=2√(5)．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠EDC=∠1．
∴利用①中的∠1=∠2得到∠EDC=∠2，
∴∠EDC=∠2，
∴sin∠EDC=sin∠2，即(CE)/(CD)=(BD)/(AB)，
∴(2)/(2√(5))=(2√(5))/(AB)，则AB=10，
故⊙O的半径为5；

（2）如图2，连接AN、BN，AI．
∵I是△ABD的内心，
∴∠1=∠4，∠5=∠6．
∴

AN

=

BN

，
∴AN=BN，∠1=∠2．
∴∠2=∠4．
∵AB是直径，且AB=10，
∴∠ANB=90°，
∴AN=BN=5√(2)．
∵∠3=∠4+∠5=∠2+∠6，即∠AIN=∠IAN，
∴IN=AN=5√(2)．