证明lim(x,y)--(0,0)f(x,y)/(x^2+y^2)存在,则f(x,y)在点(0,0)处可微

Question

证明lim(x,y)--(0,0)f(x,y)/(x^2+y^2) 存在,则f(x,y)在点(0,0)处可微

Answer 1

lim(x,y)->(0,0)f(x,y)/(x^2+y^2)存在,则 f(0,0)=0 不妨设为A 则
f(x,y)=A(x²+y²) x->0,y->0 f(根号△x,根号△y)= A△x+A△y △x,△y->0
根据可微的定义可知,如果函数f(x+△x,y+△y)能写成A△x+B△y的形式,那么f(x,y)可微.
这里,f(根号△x,根号△y)= f(0+根号△x,0+根号△y)-f(0,0)=A△x+B△y,所以,f(x,y)可微.