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（2014•嘉定区三模）已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N．（1）当l与m垂直时，求证：直线l必过圆心C；（2）当|PQ|=23时
题目详情
（2014•嘉定区三模）已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N．
（1）当l与m垂直时，求证：直线l必过圆心C；
（2）当|PQ|=2
时，求直线l的方程；
（3）求证：
•
是定值．
（1）当l与m垂直时，求证：直线l必过圆心C；
（2）当|PQ|=2
| 3 |
（3）求证：
| AM |
| AN |
▼优质解答
答案和解析
（1）因为l与m垂直，直线m的一个法向量为（1，3），
所以直线l的一个方向向量为
=（1，3），所以l的方程为
＝
，即3x-y+3=0．
所以直线l过圆心C（0，3）．
（2）由|PQ|=2
得，圆心C到直线l的距离d=1，
设直线l的方程为x-ny+1=0，则由d=
=1．
解得n=0，或n=
，
所以直线l的方程为x+1=0或4x-3y+4=0．
（3）因为CM⊥l，所以
•
=（
+
）•
所以直线l的一个方向向量为
| d |
| x+1 |
| 1 |
| y |
| 3 |
所以直线l过圆心C（0，3）．
（2）由|PQ|=2
| 3 |
设直线l的方程为x-ny+1=0，则由d=
| |1−3n| | ||
|
解得n=0，或n=
| 3 |
| 4 |
所以直线l的方程为x+1=0或4x-3y+4=0．
（3）因为CM⊥l，所以
| AM |
| AN |
| AC |
| CM |
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