（2014•乌鲁木齐三模）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=22，若四面体ABCD体积的最大值为43，则该球的表面积为（）A.16π3B.8πC.9πD.12π

Question

（2014•乌鲁木齐三模）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2√(2)，若四面体ABCD体积的最大值为(4)/(3)，则该球的表面积为（　　）
A. (16π)/(3)
B. 8π
C. 9π
D. 12π

Answer 1

根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为(1)/(3)×S_△ABC×DQ=(4)/(3)，
S_△ABC=(1)/(2)AC•BQ=(1)/(2)×2√(2)×√(2)
即(1)/(3)×(1)/(2)×√(2)×2√(2)×DQ=(4)/(3)，∴DQ=2，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=（√(2)）²+（2-R）²，∴R=(3)/(2)
则这个球的表面积为：S=4π（(3)/(2)）²=9π；
故选：C．