定积分的几何意义到底是面积体积还是面积体积的代数和?为什么有的时候有绝对值有的时候是负的定积分的几何意义到底是面积体积还是面积体积的代数和?为什么有的时候有绝对值有

Question

定积分的几何意义到底是面积 体积 还是面积 体积的代数和?为什么有的时候有绝对值 有的时候是负的
定积分的几何意义到底是面积 体积 还是面积 体积的代数和?为什么有的时候有绝对值 有的时候没有
为什么时候有正 有的时候是负的?

Answer 1

应该这么说
（1）当曲线在x轴上方时,定积分算出来的值,与曲线下方、x轴上方以及积分限之间所围区域的面积恰好相等；这个时候可以说定积分的几何意义就是面积.
（2）而当曲线在x轴下方时,定积分算出来的值与曲线上方,x轴下方以及积分限之间所围区域的面积相差一个符号,因此严格地说定积分的几何意义就是面积并不完全正确,但是它又确实与面积有很大的关系,因为只是符号的差别,所以一般就说定积分的几何意义是面积.
而当曲线有些部分在x轴上方,有些在下方时,因为面积总是正的,而定积分算出来的值,在x轴上方为正,下方为负,由前面讨论的（1）（2）两点知,定积分算出来的值应该等于曲线在x轴上下两部分面积的代数和.