（2014•临沂三模）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项；（Ⅱ）设{bn-（-1）nan}是等比数列，且b2=7，b5=71，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

（2014•临沂三模）已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）设{b_n-（-1）ⁿa_n}是等比数列，且b₂=7，b₅=71，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），
∵a₁=2且a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴（3d+2）²=（d+2）（7d+2），
解得d=2，
故a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）令cn＝bn−(−1)nan，设{c_n}的公比为q，
∵b₂=7，b₅=71，a_n=2n，
∴c₂=b₂-a₂=7-4=3，c₅=b₅+a₅=71+10=81，
∴q3＝(c5)/(c2)＝(81)/(3)＝27，故q=3，
∴cn＝c2•qn−2＝3×3n−2＝3n−1，
即bn−(−1)nan＝3n−1，
∴bn＝3n−1+(−1)n2n．
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（3⁰+3¹+…+3^n-1）+[-2+4-6+…+（-1）ⁿ2n]
当n为偶数时，Tn＝(1−3n)/(1−3)+2×(n)/(2)＝(3n+2n−1)/(2)；
当n为奇数时，Tn＝(1−3n)/(1−3)+2×(n−1)/(2)−2n=(3n−2n−3)/(2)．
∴Tn＝

(3n+2n−1)/(2)(n为偶数)

(3n−2n−3)/(2)(n为奇数)

．