求一道数论题目证明若b是a模n的逆元,则ordna=ordna.（a模n的阶等于b模n的阶）

Question

求一道数论题目 证明若b是a模n的逆元,则ordn a = ordn a.（a模n的阶等于b模n的阶）

Answer 1

设a模n的阶为m,则m是满足a^m≡1 (mod n)的最小正整数.
设b模n的阶为k,则k是满足b^k≡1 (mod n)的最小正整数.
由于b是a模n的逆元,所以有ab≡1 (mod n),
可得a^(m-1)≡b (mod n),
所以b^k≡a^(km-k)≡1 (mod n).
又由于m是满足a^m≡1 (mod n)的最小正整数,
所以km-k被m整除,而m-1与m是互素的,有k被m整除.
同理我们还可以得到也m被k整除.
综上可得m=k,即a模n的阶等于b模n的阶.