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已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点,若存在求出直线的方程l,若不存在说明理由.
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已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点,若存在求出直线的方程l,若不存在说明理由.
▼优质解答
答案和解析
圆C化成标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9,假设存在以AB为直径的圆M,圆心M的坐标为(a,b).
∵CM⊥l,即kCM•kl=
×1=-1
∴b=-a-1
∴直线l的方程为y-b=x-a,即x-y-2a-1=0
∴|CM|2=(
)2=2(1-a)2
∴|MB|2=|CB|2-|CM|2=-2a2+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴-2a2+4a+7=a2+b2,得a=-1或
,
当a=
时,b=-
,此时直线l的方程为x-y-4=0
当a=-1时,b=0,此时直线l的方程为x-y+1=0
故这样的直线l是存在的,方程为x-y-4=0或x-y+1=0.
∵CM⊥l,即kCM•kl=
b+2 |
a−1 |
∴b=-a-1
∴直线l的方程为y-b=x-a,即x-y-2a-1=0
∴|CM|2=(
|1+2−2a−1| | ||
|
∴|MB|2=|CB|2-|CM|2=-2a2+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴-2a2+4a+7=a2+b2,得a=-1或
3 |
2 |
当a=
3 |
2 |
5 |
2 |
当a=-1时,b=0,此时直线l的方程为x-y+1=0
故这样的直线l是存在的,方程为x-y-4=0或x-y+1=0.
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