有一个基础的椭圆解析几何题请教各位大仙椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2PF1=4/3PF2=14/3问若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆于A,B.且A,B关于M对称,求直

Question

有一个基础的椭圆解析几何题请教各位大仙
椭圆C：x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2 PF1=4/3 PF2=14/3
问 若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆于A,B.且A,B 关于M对称,求直线线L方程.
PS：我的思路是这样的,先求出椭圆的方程,然后设出直线,与圆联立求解,用韦达定理求出x1+x2.但是y1+y2 怎么求 难道换成y与x的关系重新代入?

Answer 1

已知PF1⊥F1F2,|PF1|=4/3,|PF2|=14/3,故
2a=|PF1|+|PF2|=4/3+14/3=6,a=3,
(2c)²=|PF2|²-|PF1|²=20,c²=5
b²=a²-c²=3²-5=4,
所以椭圆C的方程为：x²/9+y²/4=1①
圆x²+y²+4x-2y=0即(x+2)²+(y-1)²=5,M(-2,1),
设过M的直线L：y-1=k(x+2)②,A(x1,y1),B(x2,y2),
①②联立得：
(9k²+4)x²+18k(2k+1)x+9(2k+1)²=0③,
运用韦达定理和中点坐标公式,有
2*(-2)=x1+x2=-18k(2k+1)/(9k²+4),
解得：k=8/9 或 k=0（不合题意,舍去）
所以L：y-1=(8/9)(x+2),即8x-9y+25=0