已知函数f（x）=3sin2x-2cos2x-1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=3，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．

Question

已知函数f（x）=√(3)sin2x-2cos²x-1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√(3)，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=√(3)sin2x-（cos2x+1）-1=√(3)sin2x-cos2x-2=2sin（2x-(π)/(6)）-2，
∵ω=2，-1≤sin（2x-(π)/(6)）≤1，
∴f（x）的最小正周期T=π；最小值为-4；
（Ⅱ）∵f（C）=2sin（2C-(π)/(6)）-2=0，
∴sin（2C-(π)/(6)）=1，
∵C∈（0，π），∴2C-(π)/(6)∈（-(π)/(6)，(11π)/(6)），
∴2C-(π)/(6)=(π)/(2)，即C=(π)/(3)，
将sinB=2sinA，利用正弦定理化简得：b=2a，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+4a²-2a²=3a²，
把c=√(3)代入得：a=1，b=2．