设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ(0＜θ＜π2)；（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小

Question

设O为复平面的原点，Z₁和Z₂为复平面内的两动点，并且满足：
（1）Z₁和Z₂所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ(0＜θ＜(π)/(2))；
（2）△OZ₁Z₂的面积为定值S求△OZ₁Z₂的重心Z所对应的复数的模的最小值．

Answer 1

设Z₁，Z₂和Z对应的复数分别为z₁，z₂和z，其中
z₁=r₁（coθ+isinθ），
z₂=r₂（coθ-isinθ）．
由于Z是△OZ₁Z₂的重心，根据复数加法的几何意义，
则有3z=z₁+z₂=（r₁+r₂）cosθ+（r₁-r₂）isinθ．
于是|3z|²=（r₁+r₂）²cos²θ+（r₁-r₂）²sin²θ
=（r₁-r₂）²cos²θ+4r₁r₂cos²θ+（r₁-r₂）²sin²θ
=（r₁-r₂）²+4r₁r₂cos²θ
又知△OZ₁Z₂的面积为定值S及sin2θ＞0(0＜θ＜(π)/(2))，
所以(1)/(2)r1r2sin2θ＝S，即r1r2＝(2S)/(sin2θ)
由此，|3z|2＝(r1−r2)2+(8Scos2θ)/(sin2θ)＝(r1−r2)2+4Sctgθ
故当r₁=r₂=√((2S)/(sin2θ))时，|z|最小，且|z|最小值=(2)/(3)√(Sctgθ)．