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设函数f(x)在[1,+∞)上连续,若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V(t)=
[t2f(t)-f(1)].试求y=f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件y|x=2=
的解.
设函数f(x)在[1,+∞)上连续,若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V(t)=
π |
3 |
2 |
9 |
▼优质解答
答案和解析
函数f(x)在[1,+∞)上连续,由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积
V=
πy2dx=
πf2(x)dx=
[t2f(t)?f(1)]
对t求导,既得:
πf2(t)=
[2tf(t)+t2f′(t)]
3f2(t)=2tf(t)+t2f'(t)
f′(t)=3
?2
令u=
,则有:f(t)=ut
f'(t)=u+u't=3u2-2u
u't=3u2-3u
=
(
?
)du=
dt
[ln|u?1|?ln|u|]=ln|t|+C,C为任意常数.
即:
=C
代入u=
,
则:
=C
即y=f(x)所满足的微分方程为:
=C,C为任意常数.
该微分方程满足条件y|x=2=
,则C=
=?1
从而,该微分方程满足条件y|x=2=
的解为:y-x+x3y=0.
V=
∫ | t 1 |
∫ | t 1 |
π |
3 |
对t求导,既得:
πf2(t)=
π |
3 |
3f2(t)=2tf(t)+t2f'(t)
f′(t)=3
f2(t) |
t2 |
f(t) |
t |
令u=
f(t) |
t |
f'(t)=u+u't=3u2-2u
u't=3u2-3u
du |
3u2?3u |
dt |
t |
1 |
3 |
1 |
u?1 |
1 |
u |
1 |
t |
1 |
3 |
即:
u?1 |
ut3 |
代入u=
f(t) |
t |
则:
f(t)?t |
t3f(t) |
即y=f(x)所满足的微分方程为:
y?x |
x3y |
该微分方程满足条件y|x=2=
2 |
9 |
| ||
23×
|
从而,该微分方程满足条件y|x=2=
2 |
9 |
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