在平面直角坐标系xoy中,双曲线（a＞0,b＞0在平面直角坐标系xoy中,双曲线x²/a²-y²/b²=1（a＞0,b＞0）上有一点P到它的两个焦点的距离之差为8,一条渐近线的倾斜角为arctan3/4,设p为双

Question

在平面直角坐标系xoy中,双曲线（a＞0,b＞0
在平面直角坐标系xoy中,双曲线x²/a²-y²/b²=1（a＞0,b＞0）上有一点P到它的两个焦点的距离之差为8,一条渐近线的倾斜角为arctan3/4,设p为双曲线上一点,过P作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于点M,求三角形OPM的面积S

Answer 1

有一点P到它的两个焦点的距离之差为8
2a=8
a=4
一条渐近线的倾斜角为arctan3/4
y=3/4x
x²/a²-y²/b²=0
y=+/-b/ax
∴b=3
双曲线方程x²/16-y²/9=1
设P坐标(x0,y0)
MP:y=-3/4(x-x0)+y0
与y=3/4x联立
M（2(x0/4+y0/3),3(x0/4+y0/3)/2)
P到OM距离=|3x0-4y0|/5
OPM的面积S=1/2*|3x0-4y0|/5*√（4(x0/4+y0/3)^2+9(x0/4+y0/3)^2/4)
=1/2*|3x0-4y0|/5*5/2*|x0/4+y0/3|
=1/4*|( 3x0-4y0)(x0/4+y0/3)|
=1/4*|3x0^2/4-4y0^2/3|
=1/4*12*|x0^2/16-y0^2/9|
=3*1
=3
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