如图，AB是⊙O的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的廷长线于点E，连CE交AB于点F，连接DF．（1）求证：△

Question

如图，AB是⊙O的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的廷长线于点E，连CE交AB于点F，连接DF．

（1）求证：△DAC≌△ECP；
（2）填空：
①四边形ACED是何种特殊的四边形？
②在点P运动过程中，线段DF、AP的数量关系是___．

Answer 1

（1）证明：∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∵点C为AP的中点，
∴DC⊥AP，
∴∠DCA=∠DCP=90°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠APB=90°，
∴四边形DEPC为矩形，
∴DC=EP，
在△DAC和△ECP中

AC=PC

∠ACD=∠CPE

DC=EP

，
∴△DAC≌△ECP；

（2）①∵△DAC≌△ECP，
∴AD=CE，∠DAC=∠ECP，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
②∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∵AD∥CE，
∴∠ADO=∠DCF，
∴∠DAO=∠DCF，
∴A，C，F，D四点共圆，
∴

AC

=

DF

，
∴AC=DF，
∵AC=(1)/(2)AP，
∴DF=(1)/(2)AP，
故答案为：DF=(1)/(2)AP．