电磁场理论中的三维张量与相对论中的四维张量推广到四维的定义，把相对论电动力学写成协变的张量方程电磁场理论中的三维张量与相对论中的四维张量（从普通的三维空间矢量的方向出

Question

电磁场理论中的三维张量与相对论中的四维张量推广到四维的定义，把相对论电动力学写成协变的张量方程电磁场理论中的三维张量与相对论中的四维张量（从普通的三维空间矢量的方向出发，用正交变换写出矢量与张量的新定义，给出电磁场的应用实例）推广到四维的定义，把相对论电动力学写成协变的张量方程

Answer 1

在说明具体问题之前，先约定一下标记的方法：“^”表示抗变指标；“_”表示协变指标；∂Q/∂x^μ=Q,μ；“：”表示求协变导数；希腊字母表示该指标可以取“0，1，2，3”；英文字母表示该指标可以取“1，2，3”；一个指标在一项里出现两次表示使用Einstein求和约定。 构造四维电磁张量首先是从真空中的Maxwell的电磁方程组出发，即： ▽·E=ρ/ε0 ▽·B=0 ▽×E=-∂B/∂t ▽×B=-1/c^2*∂E/∂t+μ0*j；c是真空中的光速,c=1/√(ε0*μ0)；ε0，μ0分别表示真空中的介电和介磁常数。 引入辅助量电磁矢势A和标势φ： B=▽×A；E=-▽φ-∂A/∂t 并按照Lorentz规范条件： ▽·A+1/c^2*∂φ/∂t=0 这样Maxwell方程组就可以写成关于矢势和标势的形式（“△”表示Laplace算符），即： (△-1/c^2*∂/∂t)A=-μ0*j (△-1/c^2*∂/∂t)φ=-ρμ0*c^2；ρ代表电荷密度,j表示三维电流密度矢量。 这样，三维电流密度矢量，和电荷密度可以构成四维电流密度矢量J^μ，即： J^μ=(ρc,ij);J^0=ρc，J^1=i*j1;J^2=i*j2;J^3=i*j3 电磁矢势和表示构成四维电磁矢势A^μ，即： A^μ=(φ/c,iA),其中i是虚实算符，即i^2=-1； A^0=φ/c；A^1=i*A1；A^2=i*A2；A^3=i*A3 利用D'Alembert算符四维电磁矢势满足的Maxwell方程可以简记为： □A^μ=-μ0*J^μ；□=△-1/c^2*∂^2/∂t^2 因此引入反称张量F_μν=A_μ,ν-A_ν,μ 再由A_μ=g_μν*A_ν,可知： E^1=-A^1,0-A^0,1=A_1,0-A_0,1=F_10=-F^10 B^1=A^3,2-A^2,3=-A_3,2+A_2,3=F_23=F^23 于是由Maxwell方程组的第一，第四式可知： F^μν,ν=μ0*J^μ......(1) 由Maxwell方程组的第二，第三式可知: F^μν,σ+F^νσ,μ+F^σμ,ν=0......(2) 现在只要将(1),(2)过度到协变方程即可。 对于（1）式，由协变微分的法： A_μ:ν-A_ν:μ=A_μ,ν-Γ^ρ_μν*A_ρ-(A_ν,μ-Γ^ρ_μν*A_ρ)=A_μ,ν-A_ν,μ 由于:F^μν=A_μ,ν-A_ν,μ,因此(1)可以直接过渡到协变方程,即: F^μν=A_μ:ν-A_ν:μ F^μν：ν=μ0*J^μ 对于(2)式,由协变微分法: F_μν:σ=F_μν,σ-Γ^α_μσ*F_αν-Γ^α_νσ*F_μα F_νσ:μ=F_νσ,μ-Γ^α_νμ*F_ασ-Γ^α_σμ*F_να F_σμ:ν=F_σμ,ν-Γ^α_σν*F_αμ-Γ^α_σν*F_σα 将上面三式相加,并注意到反称张量F_μν=-F_νμ,所以有: F_μν:σ+F_νσ:μ+F_σμ:ν=F^μν,σ+F^νσ,μ+F^σμ,ν=0 这样便将Maxwell方程组过渡到了四维协变方程组，即： F^μν=A_μ:ν-A_ν:μ F^μν：ν=μ0*J^μ F_μν:σ+F_νσ:μ+F_σμ:ν=0 另外，张量的定义就是： T^μ'ν'_α'β'γ'=x^μ'_μ*x^ν'_ν*x^α_α'*x^β_β'*x^γ_γ'*T^μν_αβγ 对于一个有n个抗变指标和m个协变指标的量，凡是满足上面的变换方式的就都是张量，矢量是只有一个指标的张量。