如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于C．点D是半圆上位于PC左侧的点，连接BD交线段PC于E，且PD=PE．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为43，PC=83，设OC=x，PD2=y．①求y关于x

Question

如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于C．点D是半圆上位于PC左侧的点，连接BD交线段PC于E，且PD=PE．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4√(3)，PC=8√(3)，设OC=x，PD²=y．
①求y关于x的函数关系式；
②当x=√(3)时，求tanB的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．                
∵PD=PE，∴∠PDE=∠PED．                
∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°，
∴PD⊥OD．                            
∴PD是⊙O的切线．                       
（2） ①连接OP．
在Rt△POC中，
OP²=OC²+PC²=x²+192．                    
在Rt△PDO中，
PD²=OP²-OD²=x²+144．
∴y=x²+144（0≤x≤4√(3)）．             
（x取值范围不写不扣分）
②当x=√(3)时，y=147，
∴PD=7√(3)，（8分）
∴EC=√(3)，
∵CB=3√(3)，
∴在Rt△ECB中，tanB=(CE)/(CB)=(√(3))/(3√(3))=(1)/(3)．