设y=y（x）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（x，y）处的曲率为11+y′2，且此曲线上点（0，1）处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y（x）的极值．

Question

设y=y（x）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（x，y）处的曲率为(1)/(√(1+y′2))，且此曲线上点（0，1）处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y（x）的极值．

Answer 1

因曲线向上凸，故y’’＜0，依题意有
(−y″)/(√((1+y′2)))
即：y''=-（1+y'²）
曲线经过点（0，1），故y（0）=1，又因为该点处的切线方程为y=x+1，即切线斜率为1
所以y’（0）=1，问题转化为求一下方程特解

y″＝−(1+y′2)

y(0)＝1，y′(0)＝1

令y'=p，y''=p'
p'=-（1+p²）
分离变量解得：
arctanp=C₁-x
以p（0）=1代入，得到
C1＝arctan1＝(π)/(4)
所以y’＝p＝tan((π)/(4)−x)
再积分，得
y＝∫tan((π)/(4)−x)dx＝ln|cos((π)/(4)−x)|+C2
把y（0）=1代入
C2＝1+(1)/(2)ln2
故所求曲线方程为
y＝ln|cos((π)/(4)−x)|+1+(1)/(2)ln2，x∈(−(π)/(4)，(3π)/(4))
取其含有x=0在内连续的一支为
y＝lncos((π)/(4)−x)+1+(1)/(2)ln2
当x→(−(π)/(4))+或x→((3π)/(4))−时，
cos((π)/(4)−x)→0，y→−∞
故此函数无极小值
当x＝(π)/(4)时，y为极大值
此时y＝1+(1)/(2)ln2