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已知a,b,c成等差数列,证明a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)
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已知a,b,c成等差数列,证明a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)
▼优质解答
答案和解析
三个数abc成等差数列,则c-b=b-a
c^2（a＋b)-b^2（c＋a）=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2（c＋a）-a^2（b＋c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a,则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2（a＋b)-b^2（c＋a）=b^2（c＋a）-a^2（b＋c)
所以a^2（b＋c), b^2（c＋a）, c^2（a＋b) 成等差数列
c^2（a＋b)-b^2（c＋a）=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2（c＋a）-a^2（b＋c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a,则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2（a＋b)-b^2（c＋a）=b^2（c＋a）-a^2（b＋c)
所以a^2（b＋c), b^2（c＋a）, c^2（a＋b) 成等差数列
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