如图所示，质量为M=0.1kg、半径为R=1.0m的质量分布均匀的圆环静止在粗糙的水平桌面上，一质量为m=0.2kg的光滑小球以水平速度v0=6.0m/s通过环上的小孔正对环心射入环内，与环发生第一次碰撞

Question

如图所示，质量为M=0.1kg、半径为R=1.0m的质量分布均匀的圆环静止在粗糙的水平桌面上，一质量为m=0.2kg的光滑小球以水平速度v₀=6.0m/s通过环上的小孔正对环心射入环内，与环发生第一次碰撞后到第二次碰撞前小球恰好不会从小孔中穿出．假设小球与环内壁的碰撞为弹性碰撞，只考虑圆环与桌面之间的摩擦，且粗糙程度各处相同．求：
①第一次碰撞后圆环的速度；
②第二次碰撞前圆环的位移；
③圆环通过的总位移．

Answer 1

①设第一次刚碰撞完，小球和环各自的速度大小分别为v₁和v₂，取向左为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律，有：
    mv₀=mv₁+Mv₂
    (1)/(2)mv₀²=(1)/(2)mv₁²+(1)/(2)Mv₂²
解得：v₁=2m/s，v₂=8m/s．
②第一次碰撞后经过时间t，小球恰好未从小孔中穿出，即二者共速，均为v₁，由运动学规律：
   (v1+v2)/(2)t-v₁t=2R
对圆环，由动量定理：
-ft=Mv₁-Mv₂；
联立解得：f=0.9N
假设环在第二次碰撞前已停止，其位移由动能定理得：
-fx₂=0-(1)/(2)M

v

2 2

解得 x₂=(32)/(9)m
此时小球的位移，由运动学规律：
  x₁=v₁•t′
设对圆环速度从v₂减至0的时间为t′，由动量定理得：：
-ft′=0-Mv₂；
联立得 x₁=v₁•(Mv2)/(f)=2×(0.1×8)/(0.9)=(16)/(9)m<(32)/(9)m
假设成立，所以在第二次碰撞前环的位移为 x₂=(32)/(9)m
③多次碰撞后小球和环最终静止，设圆滑受到的摩擦力为f，通过的总位移为x，系统的动能全部转化为摩擦生热：
    fx=(1)/(2)m

v

2 0

联立解得，圆环通过的总位移为：x=4m．
答：
①第一次碰撞后圆环的速度是8.0m/s．
②第二次碰撞前圆环的位移是(32)/(9)m．
③圆环通过的总位移是4m．