正整数开根号写成连分数是否都是循环的?譬如sqrt(3)=[1;1,2,1,2,1,2,...,1,2,...]如果可以请简单证明一下

Question

正整数开根号写成连分数是否都是循环的?譬如sqrt(3)=[1;1,2,1,2,1,2,...,1,2,...] 如果可以请简单证明一下

Answer 1

非平方正整数开平方根(二次根号),写成连分数是否都是循环的?
答：是的.
证：设sqrt(n)=y=m+x,其中m=int(sqrt(n)),这里int表示取整数部分,有时也用[]或┌　┐
表示.
于是
n=yy,xx+2mx=yy-mm=n-mm,即x(x+2m)=n-mm
于是x+2m=(n-mm)/x
于是1/x=(2m+x)/(n-mm)=...
……
上面的过程还不够完善.请参考下面的例1,看看如何严格化.
注意,平方整数开平方是整数,这是特殊情况.
备考：循环连分数的值能为整数的例子,广义连分数,见例2.
例1：
题：将根号30化为连分数
设√(30)=y=5+x
于是xx+10x=5,于是x+10=5/x,
于是1/x=2+x/5=2+1/(x+10)=2+1/(10+1/(1/x))
由此迭代,可构成循环连分数.
即√(30)=5+1/{2+1/(10+1/{})}
我将它写成：√(30)=[5;(2,10)],其中(2,10)是循环节.
这里得到的是标准连分数形式.
使用广义连分数的话,还可以如下：
设√(30)=y=5+x
于是(y-5)=5/(5+y)
于是y=5+5/(5+y)
由此迭代得到：
√(30)=[5;(5：10)]=5+5/{10+5/(10+5/{})}
注：
这里说的广义连分数[Z；A1:B1,A2:B2,...]=
Z+A1/(B1+A2/(B2+A3/(B3+...))),其中Z,Ai,Bi为整数,可以为负整数.
当Ai限定为1,Bi限定为正整数时即普通连分数,记作[Z；B1,B2,...]
以上答题过程中,对循环节使用()表示.
外一则：
e=[2；1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...]
e=[1; 1:1,-1:3,-2:4,-3:5,-4:5,-5:6,...]
e=[1; 1:1,1:6,1:10,1:14,...,1:(2n+1),...]
e^x=[1; x:1,-x:x+2,-2x:x+3,-3x:x+4,...]
e^(2m/n)=[1; 2m:n-m,mm:3n,mm:5n,mm:7n,...]
pi/4=[0；1:1,1:2,9:2,25:2,...,n^2:2,...]=[0; 1:1,1:3,4:5,9:7,16:9,25:11,…,nn:(2n+1),...,]
pi=[0；4:1,1:2,9:2,25:2,...,n^2:2,...]=[0; 4:1,1:3,4:5,9:7,16:9,25:11,…,nn:(2n+1),...,]
pi=[3; 1:6,9:6,25:6,...,(2n+1)^2 :6,...,]
例2：
题：连分数x=[2; (2:1)]=2+2/(1+2/(1+2/(1+...))),求x值.
注：上面的表示法是广义连分数.并且,[2; (2,1)]为循环连分数,()内为循环节.
易见x=2+2/(x-1)
即x(x-1)=2x,即x=0或3.易见x=0不合题意,故x=3.