求∫dx/(r^2+x^2)^(3/2),符号和式子的解释：^代表乘方号.∫代表积分号.r^2就是r的2次方,本式子dx在分子,分母是r的2次方加上x的2次方之和的2分之3次方,由于是在分母上的,所以转成分子要变成负的2

Question

求∫dx/(r^2+x^2)^(3/2),
符号和式子的解释：
^代表乘方号.
∫代表积分号.
r^2就是r的2次方,本式子dx在分子,分母是r的2次方加上x的2次方之和的2分之3次方,由于是在分母上的,所以转成分子要变成负的2分之3次方.
结果我已经有了,就是不知道怎么算出来的,求具体的算法,完整的加50分……

Answer 1

变量替换
令x=r*tanθ则:
dx=rdθ/(cosθ)^2;
r^2+x^2=r^2*(secθ)^2=r^2/(cosθ)^2;
通过三角代换,sinθ=1/√(r^2/x^2+1);
∴∫dx/(r^2+x^2)^(3/2)
=∫[rdθ/(cosθ)^2]/[r^3/(cosθ)^3]
=∫cosθdθ/r^2
=(sinθ)/r^2+C
=1/[r^2·√(r^2/x^2+1)]+C