f(x)为奇函数,当x>0时,恒2f(x)+xf'(x)>xf(x)有,求[-1,1]的零点情况.

Question

f(x)为奇函数,当x>0时,恒2f(x)+xf'(x)>xf(x)有,求[-1,1]的零点情况.

Answer 1

令g(x)=x²•f(x),则g'(x)=2xf(x)+x²f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)],
从而,当x＞0时,g'(x)>0
所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,故
当x＞0时,g(x)>g(0)=0
所以　x²•f(x)>0,f(x)>0
即当x＞0时,f(x)>0成立
而　当x0,所以f(x)=-f(-x)0}.
函数的定义域是R吧,则有f(0)=0
故在[-1,1]上的零点是1个.