是否存在整数A,B,使A的平方加B的平方等于2011成立?为什么?试证明你的观点

Question

是否存在整数A,B,使A的平方加B的平方等于2011成立?为什么?试证明你的观点

Answer 1

不存在.
反证法.若存在 a 、b 使 a^2+b^2=2011 . （*）

有结论：任一整数 n ,若 n 为偶数,则 n^2 能被 4 整除；
若 n=2k+1 为奇数,则 n^2=(2k+1)^2=4k(k+1)+1 被 4 除余 1 .(其实被 8 除也余 1 ）

所以,若 a、b 均为偶数,则 （*）左端是 4 的倍数,右端不是 ；
若 a 、b 均为奇数,则（*）左端是偶数,右端不是 ；
若 a、b一个奇数,一个偶数,则（*）左端被 4 除余 1 ,而右端被 4 除余 3 .
因此,不可能存在这样的两个整数,它俩的平方和等于 2011 .