（2004•北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任作一条与抛物线y=ax2（a＞0）交于两点的直线，设交点分别为A、B．若∠AOB=90°．（1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定

Question

（2004•北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任作一条与抛物线y=ax²（a＞0）交于两点的直线，设交点分别为A、B．若∠AOB=90°．
（1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；
（2）确定抛物线y=ax²（a＞0）的解析式；
（3）当△AOB的面积为4√(2)时，求直线AB的解析式．

Answer 1

（1）A、B两点纵坐标的乘积是一个确定的值，理由如下：
设直线AB的解析式为y=kx+2，
由

y＝kx+2

y＝ax2

，
得ax²-kx-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂
则x₁，x₂为方程ax²-kx-2=0的两个实数根
∴x₁+x₂=(k)/(a)，x₁•x₂=-(2)/(a)，
∴y₁•y₂=ax₁²•ax₂²=a²（x₁•x₂）²=a²•（-(2)/(a)）²=4．
∴A、B两点纵坐标的乘积为常数4，是一个确定的值；

（2）解法一：作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N（如图）
∵∠AOB=90°
∴∠AOM+∠BON=90°
又∠OBN+∠BON=90°
∴∠AOM=∠OBN
∴Rt△AOM∽Rt△OBN
∴(AM)/(ON)＝(MO)/(NB)（注：写为(|AM|)/(|ON|)＝(|MO|)/(|NB|)同样正确）
∴-(y1)/(x2)=(x1)/(y2)
∴-x₁•x₂=y₁•y₂
∴-（-(2)/(a)）=4
a=(1)/(2)
∴所求抛物线的解析式为y=(1)/(2)x2．
解法二：当直线AB平行于x轴时（如图），
由抛物线的对称性可知，A、B两点关于y轴对称
∵∠AOB=90°
∴△AOB为等腰直角三角形
∴AP=PB=OP=2
∴B（2，2）
将x=2，y=2代入y=ax²
得a=(1)/(2)
∴所求抛物线的解析式为
y=(1)/(2)x²；

（3）作AE⊥y轴于点E，BF⊥y轴于点F（如图）
∴AE=MO，FB=ON
∵S_△AOB=S_△AOP+S_△BOP
=