设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩（A）≥秩（B）②若秩（A）≥秩（B）,则Ax=0的解均是Bx=0的解③若Ax=0与Bx=0同解,则秩（A）=秩（B）

Question

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题
① 若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩（A）≥秩（B）
② 若秩（A）≥秩（B）,则Ax=0的解均是Bx=0的解
③ 若Ax=0与Bx=0同解,则秩（A）=秩（B）
④ 若秩（A）=秩（B）,则Ax=0与Bx=0同解
以上命题正确的是?

Answer 1

正确选项应该是①和③.
设r(A)=r1, r(B)=r2,
则Ax=0的基础解系有n-r1个解向量,Bx=0的基础解系中有n-r2个解向量,因为Ax=0的解均是Bx=0的解,所以Ax=0的基础解系中的n-r1个解向量可由Bx=0的基础解系中的n-r2个解向量线性表示,于是n-r1<=n-r2,于是r1≥r2.即秩（A）≥秩（B）.所以① 是正确的.
 
若Ax=0与Bx=0同解,则Ax=0的基础解系中的n-r1个解向量与Bx=0的基础解系中的n-r2个解向量等价,于是n-r1=n-r2, 于是r1=r2. 即秩（A）=秩（B）.
 
② ④ 都是不正确的,都可举出反例的.例如：