设n阶矩阵A与B相似,且A的秩r(A)=r,A^2=-2A,则|B+E|=什么?tr(E+B)=什么?其中E是n阶单位矩阵

Question

设n阶矩阵A与B相似,且A的秩r(A)=r,A^2=-2A,则|B+E|=什么?tr (E+B)=什么?
其中E是n阶单位矩阵

Answer 1

因为 A^2 = -2A
所以 A^2+2A = 0
所以 A 的特征值只能为 0 和 -2.
而B与A相似,所以B的特征值为0,-2,且 r(B)=r
所以 B 的特征值为 n-r 个0,r个-2 [ A,B可对角化?]
所以 B+E 的特征值为 n-r 个1,r个-1
所以 |B+E| = (-1)^r
tr(B) = n-r -r = n-2r