（1）已知x，y，z∈R，且x+y+z=8，x2+y2+z2=24，求证：43≤x≤4，43≤y≤4，43≤z≤4．（2）已知a1，b1，x1，x2∈R+，ab=1，x1+x2=2，求证：（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥4（3）已知a．b．c．d∈R+且a+b+c+d＝1，求

Question

（1）已知x，y，z∈R，且x+y+z=8，x²+y²+z²=24，求证：(4)/(3)≤x≤4，(4)/(3)≤y≤4，(4)/(3)≤z≤4．
（2）已知a₁，b₁，x₁，x₂∈R₊，ab=1，x₁+x₂=2，求证：（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥4
（3）已知a．b．c．d∈R+且a+b+c+d＝1，求证：(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+(1)/(d)≥16．

Answer 1

证明：（1）∵x，y，z∈R，x+y+z=8，x²+y²+z²=24，∴y+z=8-x，y²+z²=24-x²．
又由柯西不等式可知（y²+z²）（1+1）≥（y+z）²，即（24-x²）（1+1）≥（8-x）²，
化简后可得(4)/(3)≤x≤4，同理可证(4)/(3)≤y≤4，(4)/(3)≤z≤4．
（2）∵a₁，b₁，x₁，x₂∈R₊，ab=1，x₁+x₂=2，
∴(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥(√(ax1)•√(bx1)+√(bx2)•√(ax2)) 2=（x₁+x₂）²=4．
∴（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥4．
（3）∵a．b．c．d∈R₊a+b+c+d=1，
∴((1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)+(1)/(d))(a+b+c+d)≥(1+1+1+1)2＝16．