设ABC都是3阶方阵,它们的秩互不相同且A=BC则A的秩为?

Question

设ABC 都是3阶方阵,它们的秩互不相同 且A=BC 则A的秩为?

Answer 1

R（A)=0
如果R(B)=3, 则R（A)=R(C), 矛盾,所以 R（B）不可能=3
同理,R（C）不可能=3
==> R(A)=R(BC) 不可能=3
如果R(B)=0, 则R（A)=R(BC)=0, 矛盾,所以 R（B）不可能=0
同理,R（C）不可能=0
3阶方阵秩只可能是 0,1,2,3.
ABC 的秩不可能=3, BC的秩不可能=0
==> R(A) =0