求下列齐次方程满足初值条件的特解(x2y)y求下列齐次方程满足初值条件的特解(x+2y)y'=y-2x,y|x=1

Question

求下列齐次方程满足初值条件的特解 (x 2y)y
求下列齐次方程满足初值条件的特解 (x+2y)y'=y-2x,y|x=1

Answer 1

令y=xu
则y'=u+xu'
代入方程：(x+2xu)(u+xu')=xu-2x
(1+2u)(u+xu')=u-2
xu'=(u-2)/(1+2u)-u
xdu/dx=-2(1+u^2)/(1+2u)
du(1+2u)/(1+u^2)=-2dx/x
du[1/(1+u^2)+2u/(1+u^2]=-2dx/x
积分:arctanu+ln(1+u^2)=-2ln|x|+C
得：arctan(y/x)+ln(1+y^2/x^2)=-2ln|x|+C
代入初始条件x=1,y=?即得C