几道关于整除的题目(很急啊,好的追分)1.求证:若3整除4X-Y,则9整除4倍的X平方+7XY-2倍的Y的平方2.求证:若A为整数,则6整除A(A+1)(2A+1)3.求证:若N整除MA-B,N整除MC-D,则N整除AD-BC

Question

几道关于整除的题目(很急啊,好的追分)
1.求证:若3整除4X-Y,则9整除4倍的X平方+7XY-2倍的Y的平方
2.求证:若A为整数,则6整除A(A+1)(2A+1)
3.求证:若N整除MA-B,N整除MC-D,则N整除AD-BC

Answer 1

（1）
因为3整除4X-Y
也就是4X-Y=3k(k为整数)
X+2Y+3(X-Y)=3k
X+2Y=3(k-X+Y)
4X²+7XY-2Y²
=(4X-Y)(X+2Y)
=9k(k-X+Y)
能被9整除
（2）①当A=3m(m为整数)时
A(A+1)(2A+1) =3m(3m+1)(6m+1)
若m=2n,(n为整数)
则A(A+1)(2A+1)=6n(3m+1)(6m+1)得证
若m=2n+1,则A(A+1)(2A+1)=3n(6n+4)(6m+1)=6n(3n+2)(6m+1) 得证
②当A=3m+1时,A(A+1)(2A+1)=(3m+1)(3m+2)(6m+3)
=3(3m+1)(3m+2)(2m+1)
同理,当m为奇数时,3(2m+1)能被6整除,
当m为偶数时,3(3m+2)能被6整除,
③ 当A=3m+2时,A(A+1)(2A+1)=3(3m+2)(m+1)(6m+5)
当m为奇数时,3(m+1)能被6整除,
当m为偶数时,3(3m+2)能被6整除,
于是此问得证
（3）由题可设MA-B=Nx
MC-D=Ny (x,y为整数)
M=(Nx+B)/A=(Ny+D)/C
于是 ANy+AD=NxC+BC
AD-BC =N(xC-Ay)
于是 N整除AD-BC