在数学中以e或10为底的指数表示方法是什么?

Question

在数学中以e或10为底的指数表示方法是什么?

Answer 1

在科学技术中用得非常多,一般不使用以10为底数的对数.以e为底数,许多式子都能得到简化,用它是最“自然”的,所以叫“自然对数”.
我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”.以前人们做乘法就用乘法,很麻烦,发明了对数这个工具后,乘法可以化成加法,即：log(ab) = loga + logb.
但是能够这么做的前提是,我要有一张对数表,能够知道loga和logb是多少,然后求和,能够知道log多少等于这个和.虽然编对数表很麻烦,但是编好了就是一劳永逸的事情,因此有个大数学家开始编对数表.但他遇到了一个麻烦,就是这个对数表取多少作为底数最合适?10吗?或是2?为了决定这个底数,他做了如下考虑：
1．所有乘数/被乘数都可以化到0-1之内的数乘以一个10的几次方,这个用科学记数法就行了.
2．那么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了,那么我们自然用一个0-1之间的数做底数（如果用大于1的数做底数,那么取完对数就是负数,不好看）.
3．这个0-1间的底数不能太小,比如0.1就太小了,这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数的对数值却相差很小”,比如0.1做底数时,两个数相差10倍时,对数值才相差1.换句话说,像0.5和0.55这种相差不大的数,如果用0.1做底数,那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别.
4．为了避免这种缺点,底数一定要接近于1,比如0.99就很好,0.9999就更好了.总的来说就是1 - 1/X ,X越大越好.在选了一个足够大的X（X越大,对数表越精确,但是算出这个对数表就越复杂）后,你就可以算
（1-1/X）^1 = P1 ,
（1-1/X）^2 = P2 ,
……
那么对数表上就可以写上P1 的对数值是1,P2的对数值是 2……（以1-1/X作为底数）.而且如果X很大,那么P1,P2,P3……间都靠得很紧,基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间.
5．最后他再调整了一下,用（1- 1/X）^ X作为底,这样P1的对数值就是1/X,P2的对数值就是2/ X,……PX的对数值就是1,这样不至于让一些对数值变得太大,比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万,这样调整之后,各个数的对数值基本在0-1之间.两个值之间最小的差为1/X.
6．现在让对数表更精确,那么X就要更大,数学家算了很多次,1000,1万,十万,最后他发现,X变大时,这个底数（1 - 1/X）^ X趋近于一个值.这个值就是1/e,自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）.其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间,而是放缩到1-10之间,那么同样的讨论,最后的出来的结果就是e了--- 这个大数学家就是著名的欧(Euler),自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名.
当然后来数学家对这个数做了无数研究,发现其各种神奇之处,出现在对数表中并非偶然,而是相当自然或必然的.因此就叫它自然对数底了.