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高数题如下,分不多,设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）上可导,且f(1)=0.证明：存在ξ∈（0,1）,使f'(ξ)=—f(ξ)/ξ.
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答案和解析
令g(x)=xf(x)
则g(0)=0
g(1)=0
故在（0,1）中存在一点ξ,使得g'(ξ)(1-0)=g(1)-g(0)=0
所以g'(ξ)=0
又因为g'(x)=f(x)+xf'(x)
所以f(ξ)+ξf'(ξ)=0
所以f'( ξ )=—f( ξ )/ ξ
则g(0)=0
g(1)=0
故在（0,1）中存在一点ξ,使得g'(ξ)(1-0)=g(1)-g(0)=0
所以g'(ξ)=0
又因为g'(x)=f(x)+xf'(x)
所以f(ξ)+ξf'(ξ)=0
所以f'( ξ )=—f( ξ )/ ξ
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