已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为12（1）求椭圆的标准方程（2）若直线l过点（1，2）且倾斜角为45°且与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．

Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为(1)/(2)
（1）求椭圆的标准方程
（2）若直线l过点（1，2）且倾斜角为45°且与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

（1）∵焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为(1)/(2)，
∴c=1，(c)/(a)=(1)/(2)，
∴a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴所求椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵直线l过点（1，2）且倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y=x+1，
代入椭圆方程，消去y可得7x²+8x-8=0，
∴x₁+x₂=-(8)/(7)，x₁x₂=-(8)/(7)
∴|x₁-x₂|=√(((8)/(7))2+4•(8)/(7))=(12√(2))/(7)
因此，|AB|=√(2)•|x₁-x₂|=(24)/(7)．