中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2，两准线间的距离为10．设A（5，0），B（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D，求过B，D两点，且以AD为切线的

Question

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2，两准线间的距离为10．设A（5，0），B（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D，求过B，D两点，且以AD为切线的圆的方程；
（3）过点A作直线l交椭圆C于P，Q两点，过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点S．若

AP

＝t

OA

（t＞1），求证：

SB

＝t

BQ

．

Answer 1

（1）设椭圆的标准方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)
依题意得：

2c＝2

(2a2)/(c)＝10

，得

c＝1

a＝√(5)

，
∴b²=4所以，椭圆的标准方程为(x2)/(5)+(y2)/(4)＝1．
（2）设过点A的直线方程为：y=k（x-5），
代入椭圆方程(x2)/(5)+(y2)/(4)＝1，
得（4+5k²）x²-50k²x+125k²-20=0（*）
依题意得：△=0，
即（50k²）²-4（4+50k²）（125k²-20）=0
得：k＝±(√(5))/(5)，
且方程的根为x=1，
∴D(1，±(4√(5))/(5))，
当点D位于x轴上方时，过点D与AD垂直的直线与x轴交于点E，
直线DE的方程是：y−(4√(5))/(5)＝√(5)(x−1)，
∴E((1)/(5)，0)．
所求圆即为以线段DE为直径的圆，
故方程为：(x−(3)/(5))2+(y−(2√(5))/(5))＝(24)/(25)
同理可得：当点D位于x轴下方时，
圆的方程为：(x−(3)/(5))2+(y+(2√(5))/(5))＝(24)/(25)．
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由

AP

=t

AQ

，
得：

x1−5＝t(x2−5)

y1＝ty2

，
代入

(x12)/(5)+(y12)/(4)＝1

(x22)/(5)+(y22)/(4)＝1

，
∴

x1＝−2t+3

x2＝(3t−2)/(t)

（**），
要证

SB

=t

BQ

，即证

1−x1＝t(x2−1)…(1)

y1＝ty2…(2)

，
由方程组（**）可知方程组（1）成立，（2）显然成立．
∴

SB

=t

BQ