椭圆问题!急!好的加分!在线等!已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2且过点P(根号2/2,1/2),左顶点为A.过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线教椭圆于D,E两点,且k1k2=2,求证：直线DE恒过一个

Question

椭圆问题!急!好的加分!在线等!
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为根号2/2 且过点P(根号2/2,1/2),左顶点为A.过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线教椭圆于D,E两点,且k1k2=2,求证：直线DE恒过一个定点.

我算出来椭圆的方程是x^2+2y^2=1,可以帮各位高手省点时间.望帮忙……谢谢!好的一定加分!

Answer 1

∵椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a＞b＞0)的离心率为 2 2 ,且过点P( 2 2 ,1 2 ),
∴c a = 2 2 ,1 2 a2 +1 4 b2 =1,解得 a=1 b= 2 2 c= 2 2 ,
所以椭圆C的方程为x2+2y2=1…
（2）证明：因为A（-1,0）,所以AB：y=k1（x+1）,AC：y=k2（x+1）,
由 y=k1(x+1) x2+2y2=1 ,消去y,得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-1=0,解得x=-1或x=1-2k12 1+2k12 ,
∴B(1-2k12 1+2k12 ,2k1 1+2k12 )
同理C（1-2k22 1+2k22 ,2k2 1+2k22 ）
∵k1k2=2,∴C(k12-8 8+k12 ,4k1 8+k12 )
∴直线BC的方程为y-2k1 1+2k12 =4k1 8+k12 -2k1 1+2k12 k12-8 8+k12 -1-2k12 1+2k12 •(x-1-2k12 1+2k12 ),
即y-2k1 1+2k12 =3k1 2(k12+2) •(x-1-2k12 1+2k12 ),即y=3k1 2(k12+2) x+5k1 2(k12+2) …14分
所以2yk12+(3x+5)k1+y=0,
则由 y=0,3x+5=0 ,得直线BC恒过定点(-5 /3 ,0)
请指教