已知椭圆的中心为O,找轴、短轴的长分别为2a.2b(a.>b>0),A、B分别为椭圆上的两点,且OA垂直于OB.（1）求证：1/（OA*OA）加上1/（OB*OB）为定值（2）求三角形AOB面积的最大值和最小值

Question

已知椭圆的中心为O ,找轴、短轴的长分别为2a .2b(a.>b>0),A、B分别为椭圆上的两点,且OA垂直于OB.
（1）求证：1/（OA*OA）加上1/（OB*OB）为定值 （2）求三角形AOB面积的最大值和最小值

Answer 1

分析：（1）可利用直线OA,OB方程与椭圆方程联立求A,B点坐标满足的一元方程,进而求出A,B的横纵坐标的平方,代入
1
|OA|2
1
|OB|2
,化简即可．
（2）由S△AOB=
1
2
|OA||OB|,
1
|OA|2
1
|OB|2
=
a2 b2
a2b2
,可根据均值不等式求最小值,再根据S△2AOB=
1
4
|OA|2|OB|2,把|OB|2转化为|OA|2,再根据椭圆中,|OA|范围即可求出面积最大值．
（1）设椭圆方程为
x2
a2
y2
b2
=  1,设当直线OA斜率存在且不为0时,设方程为y=kx,
∵A,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB．∴直线OB方程为y=-
1
k
x
设A（x1,y1）,b（x2,y2）,把y=kx代入
x2
a2
y2
b2
=  1得x12=
a2b2
b2 a2k2 
,∴y12=
k2a2b2
b2 a2k2
把y=-
1
k
x代入
x2
a2
y2
b2
=  1,得  x22=
a2b2k2
a2 b2k2
,∴y22=
a2b2
a2 b2k2
                        
  
1
|OA|2
1
|OB|2
=
1
x12 y12
1
x22 y22
=
1
a2b2
b2 a2k2
  
k2a2b2
b2 a2k2
1
 
a2b2k2
a2 b2k2
  
a2b2
a2 b2k2
=
a2 b2
a2b2
当直线OA,OB其中一条斜率不存在时,则另一条斜率为0此时
1
|OA|2
1
|OB|2
=
1
a2
1
b2
=
a2 b2
a2b2
综上,
1
|OA|2
1
|OB|2
为定值
   （2）S△AOB=
1
2
|OA||OB|,∴S△2AOB=
1
4
|OA|2|OB|2
由（1）知
1
|OA|2
1
|OB|2
=
a2 b2
a2b2
≥2
1
|OA|2
1
|OB|2
=
2
|OA||OB|
∴S△AOB=
1
2
|OA||OB|≥
a2b2
a2 b2
,∴S△AOBmin=
a2b2
a2 b2
．
∵S△2AOB=
1
4
|OA|2|OB|2=
1
4
|OA|2(
1
a2 b2
a2b2
-  
1
|OA|2
)
=
1
4
(
1
a2 b2
a2b2|OA|2
- 
1
|OA|4
),随着|OA|的增加,此函数值在增加
∵|OA|≤a,∴S△2AOB≤
1
4
(
1
a2 b2
a2×b2×a2
-
1
a4
)=
1
4
a2b2
∴S△AOBmax=
ab
2
综上S△AOBmin=
a2b2
a2 b2
,S△AOBmax=
ab
2