已知直线l：y=x+1与曲线C：交于不同的两点A，B，O为坐标原点．（Ⅰ）若|OA|=|OB|，求证：曲线C是一个圆；（Ⅱ）若OA⊥OB，当a＞b且时，求曲线C的离心率e的取值范围．

Question

已知直线l：y=x+1与曲线C： 交于不同的两点A，B，O为坐标原点．
（Ⅰ）若|OA|=|OB|，求证：曲线C是一个圆；
（Ⅱ）若OA⊥OB，当a＞b且 时，求曲线C的离心率e的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设直线L与曲线C的交点利用两点间的距离公式和题设等式求得x12-x22=y22-y12，把A，B代入椭圆的方程两式相减求得整理求得a和b的关系，判断出曲线的图象是圆．（Ⅱ）设直线L与曲线C的交点根据a＞b判断出曲线C为椭圆，根据OA⊥OB判断出两直线的斜率之积为-1，求得y1y2=-x1x2，将y=x+1代入椭圆的方程，利用韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式，进而利用直线方程求得y1y2的表达式，进而建立等式求得关于a和c的方程，求得a和c的关系式，进而表示出椭圆的离心率，利用a的范围确定离心率的范围．（Ⅰ）证明：设直线L与曲线C的交点为A（x1，y1）B（x2，y2）∵|OA|=|OB|∴即：x12+y12=x22+y22∴x12-x22=y22-y12∵A，B在C上∴，∴两式相减得：∴即：a2=b2∴曲线C是一个圆（Ⅱ）设直线L与曲线C的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），∵a＞b＞o∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆∵OA⊥OB∴即：y1y2=-x1x2将y=x+1代入b2x2+a2y2-a2b2=0整理得：（b2+a2）x2+2a2+a2-a2b2=0∴，∵A，B在L上∴y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1•x2+x2+x1+1又∵y1y2=-x1x2∴2x1x2+x2+x1+1=0∴2∴b2+a2-2b2a2=0∴a2+a2-c2-2a2（a2-c2）=0∴2a4-2a2+c2-2c2a2=0∴∴∵∴2a2-1∈[2，4]∴点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的基本性质．要求考生能对椭圆中a，b和c的关系能熟练理解和应用．