我把有理数集证成了不可数集,请问哪里证错了我知道事实上Q可数,请不要给我发Q是可数集的证明.我只想知道我的证法哪里错了,证明过程如下：假设Q可数,所以存在一个双射f:N->Q,N为自然数

Question

我把有理数集证成了不可数集,请问哪里证错了
我知道事实上Q可数,请不要给我发Q是可数集的证明.我只想知道我的证法哪里错了,
证明过程如下：
假设 Q可数,所以存在一个双射f:N -> Q,N为自然数（含0）,Q为有理数.
现在取任意一段在Q上的区间[a,b],a < b,如果能在这个区间之中找出一个不属于N在f下的全部映像的点c,即,在定义域里不存在任何自然数i可以令f(i) = c,那么f便不是全射,从而不是双射从而Q不可数.
首先（递归地）定义以下的一连串闭区间I_0,I_1,I_2,...:
情况一.I_0 = [a,b],a,b 属于Q,且a < b,所以I_0不是空集；
情况二.若I_i = [x,y],i 属于任何自然数,那么：
(i) 如果 f(i) ∈ I_i,那么将I_i三等分得到三个区间[x,x+(y-x)/3],[x+(y-x)/3,x+2(y-x)/3],[x+2(y-x)/3,y],明显在这之中必然有（至少）一个区间不包括f(i),令这个区间为I_(i+1)；
(ii) 如果 f(i) 不属于I_i,那么令I_(i+1)=I_i；
所以任何通过(i)和(ii)得到的新区间I_(i+1)必然都不包含f(i),且都不为空集.（这个可以用简单的归纳法得到,这些就不写了）
现在考虑 ∩I_n （变量为n,即所有I_n的交集,n∈N）,因为在定义中每个
I_(i+1)都不是空集,所以∩I_n 不为空集.但是同样在定义中,针对任何自
然数i,f(i)都不属于I_(i+1),但I_(i+1)明显包含了∩I_n,所以任何自然数
i,f(i)都不属于∩I_n,所以取任何c∈∩I_n,不存在任何i∈N,可以使f(i)
=c,所以∩I_n的存在与“f是个全射（双射）”这点互相矛盾,所以f不是全
射,而Q不可数.
Q.E.D.
麻烦帮忙看看哪里错了,
假设我定义[a,b]={x属于Q|a

Answer 1

如楼上说,闭区间套最后只套住一个数,这个数可能不是有理数.
比如I_n = Q∩[a-1/n,a+1/n],其中 a 是无理数.
这样每个 I_n 都非空,但是 ∩I_n = Q∩{a} 是空集.