代数数集和自然数集基数相等的证明（就是证明代数数级可数）不要在那里证明有理数集可数也不要直接说因为方程式可数,所以代数数可数

Question

代数数集和自然数集基数相等的证明 （就是证明代数数级可数）
不要在那里证明有理数集可数
也不要直接说因为方程式可数,所以代数数可数

Answer 1

有理数集可数,这个应该知道.
而代数数是有理系数多项式的根.
而对于一个n次有理系数多项式来,他的根只有有限多个.
而所有n次有理系数多项式与Q^n等势,所以是可数的.（Q^n指有理数Q的n次笛卡尔积.对应方式是利用多项式系数对应Q^n一个点.这是一单射,说明n次有理系数多项式至多可数.而n次有理系数多项式有无限个,说明至少可数.）
所以,对于固定的n,所有根的集合是可数个有限集的并是可数的.
再让n跑遍所有自然数,得到代数数集是可数个可数集的并.所以是可数的.
于是与有理数等势.
(超越数集)的势=(超越数集∪代数数集)的势= (实数集)的势
左边等式成立的理由是：一个无限集并上一个可数集,不改变势