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证明反对称实矩阵的特征值只能是0或纯虚数
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证明反对称实矩阵的特征值只能是0或纯虚数
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答案和解析
设A反称,且AX=λX,(X!=0)
则（X的共轭转置)AX=λ（X的共轭转置)X=λ|X|^2
两边取转置,并注意到A实反称,则有
-（X的共轭转置)AX=λ（X的共轭转置)X=（λ的共轭）|X|^2
两式相加得：【λ+（λ的共轭）】*|X|^2=0
因为X是特征向量,!=0,所以：【λ+（λ的共轭）】=0
证毕
则（X的共轭转置)AX=λ（X的共轭转置)X=λ|X|^2
两边取转置,并注意到A实反称,则有
-（X的共轭转置)AX=λ（X的共轭转置)X=（λ的共轭）|X|^2
两式相加得：【λ+（λ的共轭）】*|X|^2=0
因为X是特征向量,!=0,所以：【λ+（λ的共轭）】=0
证毕
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