（2012•浦东新区二模）已知函数f(x)＝2x，0≤x≤122−2x，12＜x≤1，且f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn-1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程fn（x）=x的根的个数为（）A．2n个B．2n2个C．2n个D．

Question

（2012•浦东新区二模）已知函数f(x)＝

2x，0≤x≤(1)/(2)

2−2x，(1)/(2)＜x≤1

，且f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f_n（x）=x的根的个数为（　　）

A．2n个
B．2n²个
C．2ⁿ个
D．2（2ⁿ-1）个

Answer 1

当x∈[0，(1)/(2)]时，f₁（x）=f（x）=2x=x，解得x=0；
当x∈（(1)/(2)，1]时，f₁（x）=f（x）=2-2x=x，解得x=(2)/(3)，
∴f的1阶根的个数是2．
当x∈[0，(1)/(4)]时，f₁（x）=f（x）=2x，f₂（x）=4x=x，解得x=0；
当x∈（(1)/(4)，(1)/(2)]时，f₁（x）=f（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x，解得x=(2)/(5)；
当x∈（(1)/(2)，(3)/(4)]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x，解得x=(2)/(3)；
当x∈（(3)/(4)，1]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x，解得x=(4)/(5)．
∴f的2阶根的个数是2²．
依此类推
∴f的n阶根的个数是2ⁿ．
故选C．