如图所示，质量均为m的物体B．C分别于轻质弹簧的两端栓接，将它们放在倾角为30°的光滑斜面上，静止时弹簧的形变量为x0．斜面底端有固定挡板D，物体C靠在挡板D上．将质量也为m的

Question

如图所示，质量均为m的物体B．C分别于轻质弹簧的两端栓接，将它们放在倾角为30°的光滑斜面上，静止时弹簧的形变量为x ₀ ．斜面底端有固定挡板D，物体C靠在挡板D上．将质量也为m的物体A从斜面上的某点由静止释放，与B相碰．已知重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力．求：
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）若A与B相碰后粘连在一起开始做简谐运动，且A与B第一次运动达到最高点时，C对挡板D的压力恰好为0，求此简谐运动的振幅；
（3）若将A从另一位置由静止释放，A与B相碰后不粘连，但仍立即一起运动，且当B第一次运动到最高点时，C对挡板D的压力也恰好为零．已知A与B相碰后弹簧第一次恢复原长时B的速度大小为 v=

1.5g x 0

，求相碰后A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离．

Answer 1

（1）对B，由平衡条件，有：mgsinθ=kx ₀ ，
解得：k= (mg)/(2 x0)
（2）设A与B一起做简谐运动在平衡位置时弹簧的压缩量为x ₁ ，则有：
2mgsinθ=kx ₁ ，
设A与B第一次运动到最高点弹簧的伸长量为x ₂ ，则由题意有：
mgsinθ=kx ₂ ，
所以此简谐运动的振幅A=x ₁ +x ₂
解得：A=3x ₀ ，
（3）设物体A释放时A与B之间距离为x，A与B碰撞前物体A速度的大小为v ₁ ，则有：
mgxsinθ= (1)/(2) m

v

21

，得v ₁ =

gx

设A与B相碰后两物体共同的速度为v ₂ ，对A与B发生碰撞的过程，有：mv ₁ =2mv ₂ ，得：v ₂ = (1)/(2) v 1
物体B静止时弹簧的形变量为x ₀ ，设弹性势能为E _p ，从A、B开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程，有：
(1)/(2) •2m

v

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+ E P =(1)/(2) •2m v 2 +2mg x 0 sinθ
当弹簧第一次恢复原长时A、B恰好分离，设分离后物体A还能沿斜面上升的距离为x ₃ ．
对物体A，从与B分离到最高点的过程，有：
(1)/(2) m v 2 =mgx ₃ sinθ
解得：x ₃ =1.5x ₀ ；
对物体B、C和弹簧所组成的系统，物体B运动到最高点时速度为0，物体C恰好离开挡板D，此时弹簧的伸长量也为x ₀ ，弹簧的弹性势能也为E _P ．从A、B分离到B运动到最高点的过程，有 (1)/(2) m v 2 =mgx ₀ sinθ+E _p ；解得：
物体A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离 d=x-x ₀ -x ₁ ；
联立以上各式解得：d=6.5x ₀ ；
答：
（1）弹簧的劲度系数k是 (mg)/(2 x0) ；
（2）此简谐运动的振幅是3x ₀ ；
（3）相碰后A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离是6.5x ₀ ．