如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使

Question

如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为
（1，0）．若抛物线y=﹣ x ² +bx+c过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．

Answer 1

（1）如答图1，连接OB．
∵BC=2，OC=1，
∴OB= = ，
∴B（0， ），
将A（3，0），B（0， ）代入二次函数的表达式得 ，解得 ，
∴y=﹣ x ² + x+ ；
（2）存在．如答图2，
作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．
∵B（0， ），O（0，0），
∴直线l的表达式为y= ．代入抛物线的表达式，
得﹣ x ² + x+ = ；
解得x=1± ，
∴P（1± ， ）；
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．
设M（x _m ，y _m ），
则S _△MAB =S _梯形MBOH +S _△MHA ﹣S _△OAB
= （MH+OB）·OH+ HA·MH﹣ OA·OB
= （y _m + ）x _m + （3﹣x _m ）y _m ﹣ ×3×
= x _m + y _m ﹣
∵y _m =﹣ x _m ² + x _m + ，
∴S _△MAB = x _m + （﹣ x _m ² + x _m + ）﹣
= x _m ² +

作业帮用户 2017-11-09

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